Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分別是AB、PD的中點。

(1)求證：AF∥平面PCE；
(2)求證：平面PCE⊥平面PCD。

Answer 1

見解析

(1)取PC中點G，連接FG、EG。
因為F、G分別為PD、PC的中點，
所以FG∥CD且FG=CD，
又AE∥CD且AE=CD，
所以，FG∥AE且FG=AE，
四邊形AEGF為平行四邊形，
因此，AF∥EG，又AF?平面PCE，所以AF∥平面PCE。
(2) 由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD⊥AF。
又PA⊥AD，F為PD的中點，則AF⊥PD，
因此，AF⊥平面PCD。
而AF∥EG，故EG⊥平面PCD，
又EG?平面PCE，所以，平面PCE⊥平面PCD。