Question

已知曲線E：ax²+by²=1（a＞0，b＞0），經過點M的直線l與曲線E交與點A、B，且．
（1）若點B的坐標為（0，2），求曲線E的方程．
（2）若a=b=1，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A（x，y），進而可表示出和，再根據，進而可求得x和y，點A的坐標可得，把點A，B的坐標代入曲線方程可求得a和b，進而可得曲線E的方程．
（2）設AB的中點位T，由條件得|TM|=|TA|-|MA|=|AB|，|OM|=，進而根據勾股定理聯立方程求得|AB|和|OT|，進而可求得
tan∠OMT即直線AB的斜率，最后根據點斜式求得直線AB的方程．
解答：解：（1）設A（x，y），因為B（0，2），M（，0）
故=（-，2），=（x-，y）．
∵．
∴（-，2）=-2（x-，y）
∴x=，y=-1，即A（，-1）
∵A，B都在曲線E上，所以
解得a=1，b=
∴曲線E的方程為x²+=1
（2）設AB的中點為T，由條件得|TM|=|TA|-|MA|=|AB|，|OM|=
根據Rt△OTA和Rt△OTM得，
即，解得|AB|=，|OT|=
∴在Rt△OTM中，tan∠OMT=，
∴直線AB的斜率為或-
∴直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的關系．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．