Question

已知曲線E：ax²+by²=1（a＞0，b＞0），經過點M(

3

3

，0)的直線l與曲線E交與點A、B，且

MB

=-2

MA

．
（1）若點B的坐標為（0，2），求曲線E的方程．
（2）若a=b=1，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）設A（x₀，y₀），進而可表示出

MB

和

MA

，再根據

MB

=-2

MA

，進而可求得x₀和y₀，點A的坐標可得，把點A，B的坐標代入曲線方程可求得a和b，進而可得曲線E的方程．
（2）設AB的中點位T，由條件得|TM|=|TA|-|MA|=

1

6

|AB|，|OM|=

3

3

，進而根據勾股定理聯立方程求得|AB|和|OT|，進而可求得
tan∠OMT即直線AB的斜率，最后根據點斜式求得直線AB的方程．

解答：解：（1）設A（x₀，y₀），因為B（0，2），M（

3

3

，0）
故

MB

=（-

3

3

，2），

MA

=（x₀-

3

3

，y₀）．
∵

MB

=-2

MA

．
∴（-

3

3

，2）=-2（x₀-

3

3

，y₀）
∴x₀=

3

2

，y₀=-1，即A（

3

2

，-1）
∵A，B都在曲線E上，所以

a•0+b2 2=1 a•( 3 2 ) 2+b•(-1) 2=1

解得a=1，b=

1

4

∴曲線E的方程為x²+

y2

4

=1
（2）設AB的中點為T，由條件得|TM|=|TA|-|MA|=

1

6

|AB|，|OM|=

3

3

根據Rt△OTA和Rt△OTM得，

|TM|2+|OT|2= 1 3 |TA|2+|OT|2=1

即

1 36 |AB|2+|OT|2= 1 3 1 4 |AB|2+|OT|2=1

，解得|AB|=

3

，|OT|=

1

2

∴在Rt△OTM中，tan∠OMT=

3

，
∴直線AB的斜率為

3

或-

3

∴直線AB的方程為y=

3

x-1或y=-

3

x+1

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的關系．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．