Question

已知雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a，b＞0）的離心率e=

5

2

，焦點(diǎn)（0，c）到一條漸近線的距離為1．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、第二象限，若

AP

=λ

PB

，其中λ∈[

1

2

，3]，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求得頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，進(jìn)而根據(jù)頂點(diǎn)到漸近線的距離求得a，b和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，最后根據(jù)c=

a2+b2

，綜合得方程組求得a，b和c，則雙曲線方程可得．
（2）由（1）可求得漸近線方程，設(shè)A（m，2m），B（-n，2n），根據(jù)

AP

=λ

PB

，得P點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程化簡(jiǎn)整理m，n與λ的關(guān)系式，設(shè)∠AOB=2θ，進(jìn)而根據(jù)直線的斜率求得tanθ，進(jìn)而求得sin2θ，進(jìn)而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達(dá)式，根據(jù)λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得．

解答： 解：（1）由題意知，雙曲線的焦點(diǎn)（0，c）到一條漸近線的距離為1，
∴b=1，
又∵雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a，b＞0）的離心率e=

c

a

=

5

2

，
即c=

5

2

a，
由c=

a2+b2

得：

5

2

a=

a2+1

，
解得a²=4，
∴雙曲線C的方程為

y2

4

-x2=1．
（2）由（1）知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x．
設(shè)A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
由

AP

=λ

PB

，得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

），
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入

y2

4

-x2=1，化簡(jiǎn)得mn=

(1+λ)2

4λ

．
設(shè)∠AOB=2θ，
∵tan（

π

2

-θ）=2，
∴tanθ=

1

2

，sinθ=

5

5

，sin2θ=

4

5

．
又|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
∴S△_AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ=2mn=

1

2

（λ+

1

λ

）+1．
記S（λ）=

1

2

（λ+

1

λ

）+1，λ∈[

1

2

，3]，
由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，S（

1

2

）=

9

4

，S（3）=

8

3

，
當(dāng)λ=1時(shí)，△AOB的面積取得最小值2，當(dāng)λ=3時(shí)，△AOB的面積取得最大值

8

3

，
∴△AOB面積的取值范圍是[2，

8

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．