Question

已知函數f（x）=Asin（wx+φ），x∈R（其中A＞0，w＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點中，相鄰2個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最低點為M（

2π

3

，-2）．求：
（1）函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[

π

3

，

π

2

），求f（x）的值域．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點的坐標求出φ的值，可得函數的解析式．
（2）由條件利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）根據與x軸的相鄰2個交點之間的距離為

π

2

，可得

T

2

=

π

w

=

π

2

，求得w=2．
再根據圖象上一個最低點為M（

2π

3

，-2），可得A=2，sin（2×

2π

3

+φ）=-1，∴2×

2π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈z，
即φ=2kπ-

11π

6

．
再由0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

，∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）當x∈[

π

3

，

π

2

），2x+

π

6

∈[

5π

6

，

7π

6

），故當2x+

π

6

=

5π

6

 時，函數取得最大值為1，當2x+

π

6

=

7π

6

 時，函數取得最小值為-1，
故函數的值域為[-1，1]．

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數的定義域和值域，屬于基礎題．