Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；
（3）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

分析：解法一（向量法）
（I）建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據兩個向量的數量積為0，得到PF⊥FD；
（2）求出平面PFD的法向量（含參數t），及EG的方向向量，進而根據線面平行，則兩個垂直數量積為0，構造方程求出t值，得到G點位置；
（3）由

AB

是平面PAD的法向量，根據PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．
解法二（幾何法）
（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有AH=

1

4

AD，再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進而由面面平行的性質得到EG∥平面PFD．從而確定G點位置；
（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．

解答：解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
則A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）
不妨令P（0，0，t）∵

PF

=(1，1，-t)，

DF

=(1，-1，0)
∴

PF

•

DF

=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0，
即PF⊥FD．（4分）
（Ⅱ）設平面PFD的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • PF =0 n • DF =0

，得

x+y-tz=0 x-y=0

，令z=1，解得：x=y=

t

2

．
∴

n

=(

t

2

，

t

2

，1)．   （6分）
設G點坐標為（0，0，m），E(

1

2

，0，0)，則

EG

=(-

1

2

，0，m)，
要使EG∥平面PFD，只需

EG

•

n

=0，即(-

1

2

)×

t

2

+0×

t

2

+1×m=m-

t

4

=0，
得m=

1

4

t，從而滿足AG=

1

4

AP的點G即為所求．（8分）
（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，
∴

AB

是平面PAD的法向量，易得

AB

=(1，0，0)，（9分）
又∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，
得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為

n

=(

1

2

，

1

2

，1)（10分）
∴cos?

AB

，

n

＞=

AB • n

| AB |•| n |

=

1 2

1 4 + 1 4 +1

=

6

6

，
故所求二面角A-PD-F的余弦值為

6

6

．（12分）
解法二：（Ⅰ）證明：連接AF，則AF=

2

，DF=

2

，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，
∴DF⊥AF（2分）
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴

DF⊥平面PAF PF?平面PAF

⇒DF⊥PF（4分）
（Ⅱ）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有AH=

1

4

AD（5分）
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面GEH∥平面PFD（7分）
∴EG∥平面PFD．
從而滿足AG=

1

4

AP的點G即為所求．  （8分）
（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1（9分）
取AD的中點M，則FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角（10分）
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴

MN

PA

=

MD

PD

，
∵PA=1，MD=1，PD=

5

，且∠FMN=90°
∴MN=

5

5

，FN=

6 5

=

30

5

，
∴cos∠MNF=

MN

FN

=

6

6

（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，空間直線與直線之間的位置關系，直線與平面平行的判定，其中解法一的關鍵是建立的空間坐標系，將空間線面關系轉化為向量夾角問題，解法二的關鍵是熟練掌握空間線面關系的判定，性質．