Question

【題目】已知函數(shù)().

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求證： .

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，即可容易證明.

（1）定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，令，得或，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）設(shè)，

，

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，

且的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，

故，所以在上單調(diào)遞增

又，

所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，；

又當(dāng)時(shí)，，時(shí)，

所以