Question

如圖,在橢圓C中,點F₁是左焦點,A(a,0),B(0,b)分別為右頂點和上頂點,點O為橢圓的中心.又點P在橢圓上,且滿足條件:OP∥AB,點H是點P在x軸上的?射影.

(1)求證:當a取定值時,點H必為定點;

(2)如果點H落在左頂點與左焦點之間,試求橢圓的離心率的取值范圍;

(3)如果以OP為直徑的圓與直線AB相切,且凸四邊形ABPH的面積等于3+2,求橢圓的方程.

Answer 1

解:(1)證明:由k_AB=,OP∥AB,得l_OP:y=x,代入橢圓方程=1,得x²=,

∴P(a,b)或P(a,b).∵PH⊥x軸,

∴H(a,0)或H(a,0).∵a為定值,∴H為定點.

(2)∵點H落在左頂點與左焦點之間,∴只有H(a,0),且-a＜a＜-c,

可解得0＜e＜.

(3)以OP為直徑的圓與直線AB相切等價于點O到直線AB的距離等于|OP|.

由條件設直線AB:+=1,則點O到直線AB的距離d=,

又|OP|=,∴=,得a²+b²=2ab.①

又由S_{四邊形ABPH}=S_△ABO+S_{四邊形OBPH}=ab+(b+b)a=ab=3+,

得ab=4,②

由①②解得a²=4(+1),b²=4(-1),所以所求橢圓方程為=1.