Question

平面上的向量

PA

，

PB

滿足

PA

2+

PB

2=4，且

PA

•

PB

=0，若向量

PC

=

1

3

PA

+

2

3

PB

，則|

PC

|的
最大為

 

．

Answer 1

分析：設|

PA

|=x  ， |

PB

|=y，則x²+y²=4，要求|

PC

|的最小值，可先表示|

PC

|=

PC 2

，把已知向量

PC

 = 

1

3

PA

+

2

3

PB

代入可轉化為關于x的二次函數，根據二次函數的性質可求

解答：解：向量

PA

，

PB

滿足

PA

2+

PB

2=4，且

PA

•

PB

=0
∵向量

PC

 = 

1

3

PA

+

2

3

PB

設|

PA

|=x  ， |

PB

|=y，則x²+y²=4
則|

PC

|=

( 1 3 PA  + 2 3 PB ) 2

=

1 9 PA 2+ 4 9   PB 2

=

1 9 x2+ 4 9 y2

=

x2 9 + 4(4-x2) 9

=

- 1 3 x2+ 16 9

當x=0時 |

PC

|=

4

3

為最大值
故答案為：

4

3

點評：求向量的模一般有兩種情況：若已知向量的坐標，或向量起點和終點的坐標，則|

a

|=

x2+y2

或|

AB

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

；若未知向量的坐標，則求向量的模時，主要是根據向量數量的數量積的性質|

a

|=

a 2

進行計算，本題主要考查的是第二種方法的應用．