Question

（本小題滿分13分）

某產品按行業生產標準分成8個等級，等級系數X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥為標準B，已知甲廠執行標準A生產該產品，產品的零售價為6元/件；乙廠執行標準B生產該產品，產品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產品都符合相應的執行標準

（I）已知甲廠產品的等級系數X₁的概率分布列如下所示：

	5	6	7	8
P	0．4	a	b	0．1

且X₁的數字期望EX₁=6，求a，b的值；

（II）為分析乙廠產品的等級系數X₂，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：

             3   5   3   3   8   5   5   6   3   4

             6   3   4   7   5   3   4   8   5   3

8   3   4   3   4   4   7   5   6   7

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數X₂的數學期望．

   （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產品更具可購買性？說明理由．

注：（1）產品的“性價比”=；

      （2）“性價比”大的產品更具可購買性．

Answer 1

本小題主要考查概率、統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力、應用意識，考查函數與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。

解：（I）因為

又由X₁的概率分布列得

由

（II）由已知得，樣本的頻率分布表如下：

	3	4	5	6	7	8
	0．3	0．2	0．2	0．1	0．1	0．1

用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數X₂的概率分布列如下：

	3	4	5	6	7	8
P	0．3	0．2	0．2	0．1	0．1	0．1

所以

即乙廠產品的等級系數的數學期望等于4.8.

（III）乙廠的產品更具可購買性，理由如下：

因為甲廠產品的等級系數的期望數學等于6，價格為6元/件，所以其性價比為

因為乙廠產呂的等級系數的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為

據此，乙廠的產品更具可購買性。