Question

如圖長(zhǎng)方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn).

⑴求證：；
⑵如果，求的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

解析試題分析：（1）要證線線垂直，一般可先證線面垂直，這個(gè)平面要包含其中一條直線，本題中有許多垂直關(guān)系，如，而平面，因此有平面，正好是平面內(nèi)的直線，問(wèn)題得證；（2）我們采取空間問(wèn)題平面化，所有條件都可在矩形內(nèi)，利用平面幾何知識(shí)解題，由于，則有，這兩個(gè)三角形中，有，又，這時(shí)可求出，從而求出的長(zhǎng)．
試題解析：（1）是正方形，∴，又長(zhǎng)方體的側(cè)棱平面，∴,
，故有平面，又，∴．        7分

（2）在長(zhǎng)方體中，是矩形，由，得，∴，從而，∴，又底面正方形的邊長(zhǎng)為2，故，，又，∴，從而．        14分
說(shuō)明：用空間向量知識(shí)求解相應(yīng)給分．
考點(diǎn)：（1）空間兩直線垂直；（2）求線段長(zhǎng)．