Question

右圖是一個直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設點是的中點，證明：平面；
（2）求二面角的大小；

Answer 1

(1)證明見試題解析；（2）.

解析試題分析：（1）證線面平行，一般根據線面平行的判定定理，在平面內找到一條與平行的直線即可.為此我們取中點D，證明// .（2）要求二面角的大小，一般是先作出二面角的平面角，通過求這個平面角來求出二面角．由于該幾何體的三個側面都是直角梯形，易計算得，，，從而，所以。那么二面角的平面角可以直接在平面內過點作，或者作平面，垂足為，連接，由三垂線定理知，就是所作平面角。
試題解析：（1）證明：作交于，連．
則．
因為是的中點，
所以．
則是平行四邊形，因此有．
平面且平面，
則面．
（2）如圖，過作截面面，分別交，于，．

作于，連．
因為面，所以，則平面．
又因為，，．
所以，根據三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．
因為，所以，故，
即：所求二面角的大小為．
考點：（1）線面平行；（2）二面角.