Question

【題目】如圖，三棱柱中，四邊形是矩形，是的中點，，，平面平面．

（1）求證：平面；

（2）求銳二面角的平面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先由已知面面垂直證明平面，得，再在矩形中由勾股定理逆定理證明，從而可得線面垂直；

（2）由（1）知，，兩兩垂直，以它們為坐標軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量，用向量法求二面角．

解：（1）證明：∵平面平面，

平面平面，

又由四邊形是矩形知，，平面，

∴平面，

∵平面，

∴．

在中，，，

∴，

即，又，

∴平面．

（2）由（1）知，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，∴，，

設為平面的法向量，

則，即，

令，得，即，

取為平面的一個法向量，

∴，

∴銳二面角的平面角的大小是．