Question

若f（x）•cos

πx

2

是周期為2的奇函數，則f（x）可以是（　　）

• A．sin

  πx

  2

• B．cos

  πx

  2

• C．sinπx
• D．cosπx

Answer 1

分析：把給出的四個選項逐一代入f（x）•cos

πx

2

驗證得答案．

解答：解：令g（x）=f（x）•cos

πx

2

，
若f(x)=sin

πx

2

，則g(x)=sin

πx

2

cos

πx

2

=

1

2

sinπx，函數是周期為2的奇函數；
若f(x)=cos

πx

2

，則g(x)=cos2

πx

2

=

1

2

cosπx+

1

2

，函數是周期為2的偶函數；
若f（x）=sinπx，則g(x)=sinπx•cos

πx

2

=

1

2

(sin

3πx

2

+sin

πx

2

)，函數周期為3；
若f（x）=cosπx，則g(x)=cosπx•cos

πx

2

是偶函數．
∴使f（x）•cos

πx

2

是周期為2的奇函數f（x）可以是sin

πx

2

．
故選：A．

點評：本題考查了三角函數的周期性及其求法，考查了三角函數倍角公式和積化和差公式，訓練了三角函數的奇偶性的判斷方法，是中檔題．