Question

【題目】設是定義在上的函數，如果存在點，對函數的圖象上任意點，關于點的對稱點也在函數的圖象上，則稱函數關于點對稱，稱為函數的一個對稱點，對于定義在上的函數，可以證明點是圖象的一個對稱點的充要條件是，．

（1）求函數圖象的一個對稱點；

（2）函數的圖象是否有對稱點？若存在則求之，否則說明理由；

（3）函數的圖象是否有對稱點？若存在則求之，否則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）函數圖象的一個對稱點為；

（2）函數的圖象無對稱點．

（3）函數的圖象有一個對稱點．

【解析】

試題分析：（1）設為函數圖象的一個對稱點，由題意即對于恒成立，由可得函數圖象的一個對稱點；（2）假設是函數的圖象的一個對稱點，即對于恒成立，因為，所以不恒成立，即函數的圖象無對稱點．（3）假設是函數的圖象的一個對稱點，對于恒成立，所以

解之即可．

試題解析：（1）設為函數圖象的一個對稱點，則對于恒成立，即對于恒成立，

∴由，

故函數圖象的一個對稱點為．

（2）假設是函數的圖象的一個對稱點，

則對于恒成立，

即對于恒成立，因為，所以不恒成立，即函數的圖象無對稱點．

（3）假設是函數的圖象的一個對稱點，

則對于恒成立，

即對于恒成立，

所以

故函數的圖象有一個對稱點．

（其實，而函數是奇函數，其圖象關于原點對稱，故的圖象關于對稱）