Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，二面角B-AA₁-C₁的大小等于60°，B到面AC₁的距離等于

3

，C₁到面AB₁的距離等于2

3

，則直線BC₁與直線AB₁所成角的正切值等于（　　）

• A、

  7

• B、

  6

• C、

  5

• D、2

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：計算題,空間位置關系與距離,空間角

分析：運用線面垂直的性質結合二面角的定義可得二面角B-AA₁-C₁的平面角即為∠BAC，且為60°，由面面垂直的性質定理可得B到AC的距離為

3

，C到AB的距離為2

3

，即可得到BC=2

3

，AB=2，∠ABC=90°，再由向量
BC₁與AB₁的數量積及夾角公式求出余弦值，由同角的平方關系和商數關系，即可計算得到正切值．

解答： 解：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，則AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
則二面角B-AA₁-C₁的平面角即為∠BAC，且為60°，
B到面AC₁的距離等于

3

，由于側面和底面垂直，
由面面垂直的性質定理可得，即為B到AC的距離為

3

，
同樣C₁到面AB₁的距離等于2

3

，即為C到AB的距離為2

3

，
在三角形ABC中，可得BC=2

3

，AB=2，∠ABC=90°，
則

AB1

•

BC1

=（

BB1

-

BA

）•（

BB1

+

BC

）=

BB1

2+

BB1

•

BC

-

BA

•

BB1

-

BA

•

BC

=4+0-0-0=4，
|

AB1

|=

4+4

=2

2

，|

BC1

|=

4+12

=4，
則cos＜

AB1

，

BC1

＞=

AB1 • BC1

| AB1 |•| BC1|

=

4

2 2 ×4

=

2

4

．
則sin＜

AB1

，

BC1

＞=

1- 2 16

=

14

4

，
即有tan＜

AB1

，

BC1

＞=

14 4

2 4

=

7

．
故選：A．

點評：本題考查異面直線所成角的求法：向量法，考查二面角的平面角的定義，考查空間直線和平面的位置關系，考查運算能力，屬于中檔題．