Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（Ⅰ）求函數y=f（x）-x的單調區間；
（Ⅱ）若不等式g（x）＜

x-m

x

在（0．+∞）上有解，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）證明：函數y=f（x）和y=g（x）在公共定義域內，g（x）-f（x）＞2．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,其他不等式的解法

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求f（x）=lnx的定義域為（0，+∞），再求導y′=f′（x）-1=

1

x

-1，（x＞0）；從而判斷函數的單調區間；
（Ⅱ）化簡得e^x＜

x-m

x

在（0，+∞）上有解，即m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可；設h（x）=x-e^x

x

，h′（x）=1-e^x（

x

+

1

2 x

），從而由導數求解；
（Ⅲ）先求公共定義域為（0，+∞），再構造g（x）-f（x）=e^x-lnx=（e^x-x）-（lnx-x）；設m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞）；設n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞）；從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=lnx的定義域為（0，+∞），
y′=f′（x）-1=

1

x

-1，（x＞0）；
當x∈（0，1）時，y′＞0，y=f（x）-x單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，y′＜0，y=f（x）-x單調遞減；
綜上所述，函數y=f（x）-x的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞）；

（Ⅱ）由題意，e^x＜

x-m

x

在（0，+∞）上有解，
即e^x

x

＜x-m有解；
故m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可；
設h（x）=x-e^x

x

，h′（x）=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
∵

x

+

1

2 x

≥2

1 2

=

2

＞1，
且x∈（0，+∞）時，e^x＞1；
∴1-e^x（

x

+

1

2 x

）＜0，
即h′（x）＜0；
故h（x）在（0，+∞）上是減函數，
故h（x）＜h（0）=0；
故m＜0；

（Ⅲ）證明：函數y=f（x）和y=g（x）在公共定義域為（0，+∞），
g（x）-f（x）=e^x-lnx=（e^x-x）-（lnx-x）；
設m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞）；
∵m′（x）=e^x-1＞0，故m（x）在（0，+∞）上是增函數，
m（x）＞m（0）=1；
又設n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞）；
故n（x）≤n（1）=-1；
所以g（x）-f（x）=m（x）-n（x）＞1+1=2；
即函數y=f（x）和y=g（x）在公共定義域內，g（x）-f（x）＞2．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題轉化為最值問題的能力，同時考查了構造函數的應用，屬于難題．