Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面四邊形ABCD內接于圓O，AC是圓O的一條直徑，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中點，∠DAC=∠AOB

（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值為2，求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵，∠DAC=∠AOB

∴AD∥OB，

∵E是PC的中點，O是AC的中點，

∴OE是△PAC的中位線，

∴OE∥PA，

∵PA∩AD=A，

平面OBE∥平面PAD，

∵BE平面PAD，BE平面PAD，

∴BE∥平面PAD

（2）解：∵AC是圓O的一條直徑，∴AC⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

則CD⊥平面PAD，

則CD⊥PD，

則∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，

若二面角P﹣CD﹣A的正切值為2，

則tan∠PDA= =2，

即AD=1，

建立以D為坐標原點，DA，DC，垂直于平面ABCD的直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：

則B（ ， ，0），P（1，0，2）， =（- ，﹣ ，2）

D（0，0，0），C（0， ，0），

則 =（0， ，0）， =（1，0，2），

設平面PCD的法向量為 =（x，y，z），

則 ，即 ，令z=1，則x=﹣2，y=0，

即 =（﹣2，0，1），

則直線PB與平面PCD所成角的正弦值sin＜ ， ＞=|cos＜ ， ＞|=| |=

【解析】（1）根據面面平行的性質定理證明平面OBE∥平面PAD，即可證明BE∥平面PAD；（2）建立空間坐標系，根據二面角P﹣CD﹣A的正切值為2，得到AD=1，然后求出平面的法向量，利用直線和平面所成角的定義即可求直線PB與平面PCD所成角的正弦值
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．