Question

【題目】如圖，已知四棱錐S﹣ABCD，SB⊥AD，側面SAD是邊長為4的等邊三角形，底面ABCD為菱形，側面SAD與底面ABCD所成的二面角為120°．

（1）求點S到平面ABCD的距離；
（2）若E為SC的中點，求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，作SO⊥平面ABCD，垂足為點O．

連接OB，OA，OD，OB與AD交于點F，連接SF．

∵SB⊥AD，

∴OB⊥AD．

∵SA=SD，

∴OA=OD．

∴點F為AD的中點，所以SF⊥AD．

由此知∠SFB為側面SAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，

∴∠SFB=120°，

∵側面SAD是邊長為4的等邊三角形，

∴SF= =2 ，

∴SO=SFsin60°=2 =3，

即點S到平面ABCD的距離為3

（2）

解：如圖以O為坐標原點，使y軸與BC平行，OB，OS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系，

由已知得：A（ ，2，0），D（ ，0），C（3 ，﹣4，0），E（ ，﹣2， ），

=（0，﹣4，0）， =（ ，0， ）， =（﹣ ，2， ），

設平面ADE的法向量為 ，

則 令x= ，得 =（ ，0，﹣1）．

設平面DEC的法向量為 =（x，y，z），

則 ，令x= ，得 =（ ，3，﹣1），

設二面角的平面角為θ，

則cosθ= = = ，

∴sinθ= = ，

∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值為

【解析】（1）解：作SO⊥平面ABCD，連接OB，OA，OD，OB與AD交于點F，連接SF．推導出OB⊥AD，SF⊥AD．從而∠SFB為側面SAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，由此能求出點S到平面ABCD的距離．（2）以O為坐標原點，使y軸與BC平行，OB，OS所在直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的正弦值．