Question

定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數，若f（x）的最小正周期是π，且當x∈[0，

π

2

]時，f（x）=sinx
（1）求當x∈[-π，0]時f（x）的解析式
（2）畫出函數f（x）在[-π，π]上的函數簡圖
（3）求當f(x)≥

1

2

時，x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先取x∈[-

π

2

，0]，得到-x∈[0，

π

2

]，把-x代入x∈[0，

π

2

]時的解析式，結合偶函數的概念可求得
x∈[-

π

2

，0]時的解析式，然后再取x∈[-π，-

π

2

]，加π后得到x+π∈[0，

π

2

]，代入x∈[0，

π

2

]時的解析式，
結合周期函數的概念求解f（x）；
（2）作出函數在[-π，0]上的圖象，根據偶函數圖象關于y軸軸對稱得到函數在[0，π]上的圖象；
（3）先求出[-π，0]上滿足f(x)≥

1

2

的x的取值范圍，根據函數是以π為周期的周期函數，把得到的區間端點值加上π的整數倍得到要求解的區間．

解答：（1）因為f（x）是偶函數，所以f（-x）=f（x）
而當x∈[0，

π

2

]時，f（x）=sinx，所以x∈[-

π

2

，0]時，-x∈[0，

π

2

]，
f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．
又當x∈[-π，-

π

2

]時，x+π∈[0，

π

2

]，
因為f（x）的周期為π，所以f（x）=f（π+x）=sin（π+x）=-sinx．
所以當x∈[-π，0]時f（x）=-sinx．
（2）函數圖象如圖，

（3）由于f（x）的最小正周期為π，
因此先在[-π，0]上來研究f(x)≥

1

2

，即-sinx≥

1

2

．
所以sinx≤-

1

2

．所以，-

5π

6

≤x≤-

π

6

．
由周期性知，當f(x)≥

1

2

時，x∈[kπ-

5π

6

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．
所以，當f(x)≥

1

2

時，x的取值范圍是[kπ-

5π

6

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了三角函數的周期及圖象，考查了三角函數的奇偶性，解答此題的關鍵是，通過周期變換和平移變換、把要求解解析式的范圍內的變量轉化到已知解析式的范圍內，此題是中檔題．