Question

【題目】已知橢圓，過上一點的切線的方程為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點且斜率不為的直線交橢圓于兩點，試問軸上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在點使得.

【解析】試題分析: (I)由直線與橢圓相切，聯立方程，有且只有兩個相同的實數根，求出 之間的一個關系式，再根據點 在橢圓上，求出 的值，得出橢圓方程；（II）聯立直線AB的方程與橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積的表達式，由已知得出PM平分 ,得出直線PA與PB傾斜角互補，它們的斜率和為零，求出 的值.

試題解析：(Ⅰ）由消去并整理得

.

∵橢圓與直線相切，

∴，

化簡得，①

又點在橢圓上，∴.②

由①②得， .

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）存在.理由如下：

設直線的方程為，

聯立消去并整理得.

.

設， ，則， .

假設存在點滿足條件，

由于，所以平分.

易知直線與直線的傾斜角互補，∴，

即，即.（）

將， 代入（）并整理得

，

∴，

整理得，即，

∴當時，無論取何值均成立.

∴存在點使得.

點睛: 本題主要考查了求橢圓方程等相關知識,屬于中檔題. 本題路: (I)由直線與橢圓相切,聯立直線與橢圓方程,消去 ,得到一個關于 的一元二次方程,判別式為零,得到 之間的一個關系式, 再根據點 在橢圓上，求出 的值，得出橢圓方程；（II）設直線AB的方程為 ，聯立直線與橢圓方程, 消去 ,得到一個關于 的一元二次方程,求出兩根之和，兩根之積的表達式，由向量之間的關系得出PM平分 ,所以 , 求出 的值.