Question

A．選修4-1：幾何證明選講
銳角三角形ABC內接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于點E，連接EC，求∠OEC．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線C₁=x²+2y2=1在矩陣M=[

1 2 0 1

]的作用下變換為曲線C₂，求C₂的方程．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
P為曲線C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ為參數）上一點，求它到直線C₂：

x=1+2t y=2

（t為參數）距離的最小值．
D．選修4-5：不等式選講
設n∈N^*，求證：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

Answer 1

分析：A．先連OC．由∠ABC=60°，∠BAC=40°，得出∠ACB=80°從而

BE

和

EA

的度數均為80°．故有∠EOC=80°+80°=160°最后得出：∠OEC的大小即可；
B．設P（x，y）為曲線C₂上任意一點，P′（x′，y′）為曲線x²+4xy+2y²=1上與P對應的點，根據矩陣變換得出

x′=x-2y y′=y

結合P′是曲線C₁上的點，求得C₂的方程即可；
C．將曲線C₁化成普通方程（x-1）²+y²=1，圓心是（1，0），直線C₂化成普通方程最后求出曲線C₁上點到直線的距離即可；
D．由柯西不等式，得：（

C 1 n

+

C 2 N

+…+

C N N

）²≤（1+1+…+1）（C_n¹+C_n²+…C_n²+）=n（2ⁿ-1）即可得到證明．

解答：A．選修4-1：幾何證明選講
解：連OC．∵∠ABC=60°，∠BAC=40°，∴∠ACB=80°．（4分）
∵OE⊥AB，∴E為

AB

的中點，∴

BE

和

EA

的度數均為80°．
∴∠EOC=80°+80°=160°．（8分）
∴∠OEC=10°．（10分）
B．選修4-2：矩陣與變換
解：設P（x，y）為曲線C₂上任意一點，P′（x′，y′）為曲線C₂上與P對應的點，

1 2 0 1

x′   y′

 =

x   y

，

x=x′+2y′ y=y′

∴

x′=x-2y y′=y

（5分）
∵P′是曲線C₁上的點，∴C₂的方程（x-2y）²+y²=1．（10分）
C．選修4-4：坐標系與參數方程
解：將曲線C₁化成普通方程（x-1）²+y²=1，圓心是（1，0），
直線C₂化成普通方程是y-2=0，則圓心到直線的距離為2．（5分）
∴曲線C₁上點到直線的距離為1，該點為（1，1）．（10分）
D．選修4-5：不等式選講
證明：由柯西不等式，得：
（

C 1 n

+

C 2 N

+…+

C N N

）²≤（1+1+…+1）（C_n¹+C_n²+…C_n²+）=n（2ⁿ-1）
∴

C 1 n

+

C 2 N

+…+

C N N

≤

n(2n-1)

．

點評：本題考查柯西不等式，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，幾種特殊的矩陣變換，體現了數形結合的數學思想．