Question

【題目】已知菱形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于一點 O，∠A=60°，將△BDC 沿著 BD 折起得△BDC'，連結 AC'．
（Ⅰ）求證：平面 AOC'⊥平面 ABD；
（Ⅱ）若點 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，∴BD⊥面 AOC'，

又BD平面 ABD，∴平面 AOC'⊥平面 ABD．

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，令AB=a，則A（ ，0，0）．

B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），C′（ ），

設面ADC'的法向量為

， ，

由 可取

∴直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值為：

【解析】（Ⅰ）只需證明C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，BD⊥面 AOC'，

即可得平面 AOC'⊥平面 ABD．（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，令AB=a，則A（ ，0，0）．

B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），C′（ ），利用向量法求解．

【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．