Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有丨FA丨=丨FD丨．當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，
（ⅰ）證明直線AE過定點，并求出定點坐標；
（ⅱ）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當點A的橫坐標為3時，過點A作AG⊥x軸于G，

A（3， ），F（ ，0）， ，

∴ ．

∵△ADF為正三角形，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

∴p=2．

∴C的方程為y2=4x．

當D在焦點F的左側時， ．

又|FD|=2|FG|=2（ ﹣3）=p﹣6，

∵△ADF為正三角形，

∴3+ =p﹣6，解得p=18，

∴C的方程為y2=36x．此時點D在x軸負半軸，不成立，舍．

∴C的方程為y2=4x．

（2）解：（ⅰ）設A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，

∴D（x1+2，0），

∴kAD=﹣ ．

由直線l1∥l可設直線l1方程為 ，

聯立方程 ，消去x得 ①

由l1和C有且只有一個公共點得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，

這時方程①的解為 ，代入 得x=m2，∴E（m2，2m）．

點A的坐標可化為 ，直線AE方程為y﹣2m= （x﹣m2），

即 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴直線AE過定點（1，0）；

（ⅱ）直線AB的方程為 ，即 ．

聯立方程 ，消去x得 ，

∴ ，

∴ = ，

由（ⅰ）點E的坐標為 ，點E到直線AB的距離為：

= ，

∴△ABE的面積 = ，

當且僅當y1=±2時等號成立，

∴△ABE的面積最小值為16．

【解析】（1）根據拋物線的焦半徑公式，結合等邊三角形的性質，求出的p值；（2）（ⅰ）設出點A的坐標，求出直線AB的方程，利用直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E，求出點E的坐標，寫出直線AE的方程，將方程化為點斜式，可求出定點；（ⅱ） 利用弦長公式求出弦AB的長度，再求點E到直線AB的距離，得到關于面積的函數關系式，再利用基本不等式求最小值．