Question

【題目】設為數列的前項和，若（為常數）對任意恒成立.

（1）若，求的值；

（2）若，且.

①求數列的通項公式；

②若數列滿足，且，求證：數列為等比數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②證明見解析.

【解析】

（1）由題可得數列為等比數列，則可得，進而答案可求；

（2）①，利用求數列的通項公式；

②由①可得，則，又，可求出，，計算，進一步，則可得，代入計算可得，得證.

（1）因為，所以，所以數列為等比數列.

所以，所以.

（2）①.

當時，，解得或（舍去）.

當時，，

化簡得：.

又因為，所以，所以數列為等差數列，所以.

②因為，所以當時，.

又因為，所以.

當時，，解得.

因為，所以，兩式相除得，.

因為，所以，兩式相除得，，

所以.

又因為，所以，即.

所以數列為等比數列.