Question

【題目】如圖,在直三棱柱中,AB=BC，D、E分別為的中點.

(1)證明：ED為異面直線BB1與AC1的公垂線段；

(2)設AB=1, ,求二面角A1—AD—C1的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°.

【解析】試題分析：（1）設為中點,連接,先證明 是平行四邊形，再證明平面 ，從而可得平面 ，可得與直線與都垂直且相交，進而可得結論；（2）連接作，垂足為，連接，根據二面角的平面角定義可知為二面角的平面角，在直角三角形中求出正切值即可得結果.

試題解析：(Ⅰ) 設O為AC中點，連接EO，BO，則EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，ED∥OB．

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，

∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，

∴ED⊥BB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線．

解：（Ⅱ）連接A1E，由AB=1,AA1＝AC＝可知，A1ACC1為正方形，

∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面

ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足為F，連接A1F，則A1F⊥AD，∠A1FE為二面角A1－AD－C1的平面角．

由已知AB＝ED=1, AA1＝AC＝，∴AE=A1E=1，

EF＝＝，

tan∠A1FE＝=，∴∠A1FE＝60°．

所以二面角A1－AD－C1為60°．