Question

如圖，一塊弓形薄鐵片EAF，點M為

EF

的中點，其所在圓O的半徑為4dm（圓心O在弓形EMF內）．∠EOF=

2π

3

，將弓形薄鐵片截成盡可能大的矩形鐵片ABCD（不計損耗）．AD∥EF且A、D在

EF

上，設∠AOD=2θ．
（1）求矩形鐵片ABCD的面積與關于θ的函數解析式；
（2）當裁出的矩形鐵片ABCD的面積最大時，求cosθ的值．

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數模型

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）分類討論，求出AB，AD，可得矩形鐵片ABCD的面積與關于θ的函數解析式；
（2）求導，確定函數的單調性，即可求cosθ的值．

解答： 解：（1）設矩形鐵片的面積為S，∠AOM=θ．
當0＜θ＜

π

3

時，AB=4cosθ+2，AD=8sinθ，S=AB×AD=16sinθ（2cosθ+1）．
當

π

3

≤θ＜

π

2

時，AB=8cosθ，AD=8sinθ，S=AB×AD=32sin2θ．
綜上得，矩形鐵片的面積S關于θ的函數關系式為S=

16sinθ(2cosθ+1)，0＜θ＜ π 3 32sin2θ， π 3 ≤θ＜ π 2

；

（2）當0＜θ＜

π

3

時，求導，得S′=16（4cos²θ+cosθ-2）．
令S′=0，得cosθ=

33 -1

8

．
記區間（0，

π

3

）內余弦值等于

33 -1

8

的角為θ₀（唯一存在）．列表：

θ	（0，θ0）	θ0	（θ0， π 3 ）
S′	+	0	-
S	增函數	極大值	減函數

又當

π

3

≤θ＜

π

2

時，S=32sin2θ在（

π

3

，

π

2

）上的單調減函數，
所以當θ=θ₀即cosθ=

33 -1

8

時，矩形的面積最大．

點評：本題考查函數模型的運用，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．