Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，

3

），且F₂在線段PF₁的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如果圓E：（x-

1

2

）²+y²=r²被橢圓C所覆蓋，求圓的半徑r的最大值．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C的離心率e=

2

2

和點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上知|F₁F₂|=|PF₂|，由此推出(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，從而可求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點(diǎn)，則

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，|PE|=

( x   0 - 1 2 )2+ y 2 0

，由此可求出圓的半徑r的最大值．

解答：解：（1）橢圓C的離心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，
其中c=

a2-b2

，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴(2c)2=(

3

)2+(2-c)2，
解得c=1，a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)P（x₀，y₀）是橢圓C上任意一點(diǎn)，
則

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，|PE|=

( x   0 - 1 2 )2+ y 2 0

，∵

y

2 0

=1-

x 2 0

2

，
∴|PE|=

( x   0 - 1 2 )2+1- x 2 0 2

=

1 2 x 2 0 - x   0 + 5 4

（-

2

≤

x

0

≤

2

）．
當(dāng)x₀=1時(shí)，|PE|_min=

1 2 -1+ 5 4

=

3

2

，
∴半徑r的最大值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)和圓的知識(shí)，解題時(shí)要仔細(xì)審題，認(rèn)真計(jì)算．