Question

【題目】已知函數.

(1)若f (x)在區間(－∞，2)上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍；

(2)若a＝0，x0<1，設直線y＝g(x)為函數f (x)的圖象在x＝x0處的切線，求證:f (x)≤g(x).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數的導函數，通過對恒成立，推出，即可求出的范圍；（2）利用，化簡，通過函數在處的切線方程為，討論當時， ；當時，利用分析法證明；構造函數 ，求出，構造新函數，利用公式的導數求解函數的最值，然后推出結論.

試題解析：(1)解　易知f ′(x)＝－，

由已知得f ′(x)≥0對x∈(－∞，2)恒成立，

故x≤1－a對x∈(－∞，2)恒成立，∴1－a≥2，∴a≤－1.

即實數a的取值范圍為(－∞，－1].

(2)證明　a＝0，則f (x)＝.

函數f (x)的圖象在x＝x0處的切線方程為y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f (x0).

令h(x)＝f (x)－g(x)＝f (x)－f ′(x0)(x－x0)－f (x0)，x∈R，

則h′(x)＝f ′(x)－f ′(x0)＝－＝.

設φ(x)＝(1－x)ex0－(1－x0)ex，x∈R，

則φ′(x)＝－ex0－(1－x0)ex，∵x0<1，∴φ′(x)<0，

∴φ(x)在R上單調遞減，而φ(x0)＝0，

∴當x<x0時，φ(x)>0，當x>x0時，φ(x)<0，

∴當x<x0時，h′(x)>0，當x>x0時，h′(x)<0，

∴h(x)在區間(－∞，x0)上為增函數，在區間(x0，＋∞)上為減函數，

∴x∈R時，h(x)≤h(x0)＝0，

∴f (x)≤g(x).