Question

為了了解某校高三文科學生在皖南八校第二次聯考的數學成績，從全校400名文科學生成績中抽取了 40名學生的成績，將所得數據整理后，畫出其頻率分布直方圖（如圖）．已知第一組與第六組的頻數和為6，并且從左到右各長方形髙的比為 m：3：5：6：3：1．
（1）求m的值；
（2）估計該校文科學生成績在120分以上的學生人數；
（3）從樣本中成績在第一組和第六組的所有學生成績中任取兩人成績，求兩人成績之差大于50的概率．

Answer 1

解：（1）由題意，得，解之得m=2；
（2）由（1）得m=2，則分數在120分以上的人數為=80人；
（3）∵學生成績在第一組的人數為=4人，
∴成績在第六組的人數是2人
設第一組四人的成績分別為a、b、c、d，第六組二人的成績分別為x、y，
可得從中任取兩人的成績構成的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），
（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）共15個，
兩人成績之差大于50的基本事件有（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），
（d，y）共8個．
所以兩人成績之差大于50的概率為：P=．
分析：（1）根據從左到右各長方形髙的比為 m：3：5：6：3：1，得到第一、六兩組的頻率之和為，再根據第一組與第六組的頻數和為6，得到第一、六兩組的頻率之和為，從而列出關于m的方程，求得m的值；
（2）根據此樣本文科學生成績在120分以上的頻率為0.2，結合用樣本來估計總體的理論，可得該校文科學生成績在120分以上的學生人數約為80人；
（3）首先根據頻率公式，計算出第一、六兩組的頻數分別為4和2，然后找出從這六人成績取2人成績的所有基本事件總數，以及使得人成績之差大于50的基本事件個數，利用等可能性事件的概率公式，可以計算出兩人成績之差大于50的概率．
點評：本題以某學校高三文科學生在聯考中的數學成績為例，作出了頻率分布直方圖，求解相應的問題．著重考查了用樣本的頻率分布估計總體分布、頻率分布直方圖和等可能事件的概率等知識點，屬于基礎題．