Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）對(duì)任意a≤-3，使得f（1）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，b]（b＞1）上的最大值，試求最大的實(shí)數(shù)b．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，可得只要f（1）≥f（b）即可，列出不等式求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²-a．
∴f′（x）=3x²+2ax=3x（x+

2

3

a），
∴當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得，x＜-

2a

3

或x＞0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-

2a

3

），（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得，x＞-

2a

3

或x＜0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-

2a

3

，+∞），（-∞，0）；
（Ⅱ）∵a≤-3，∴-

2a

3

≥2，∴不論-

2a

3

＜b還是-

2a

3

≥b，由題意可知f（1）≥f（b）即可，
∴b³+ab²-a-1≤0，令g（a）=b³+ab²-a-1，∵b＞1，
∴只要g（-3）=b³-3b²+2≤0，即（b-1）（b²-2b-2）≤0，解得1＜b≤1+

3

，
∴b的最大值是1+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及分類討論思想，劃歸轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力，屬難題．