Question

已知函數f（x）=x²+2x+1，當x∈[-1，1]時，求函數F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．

Answer 1

考點：二次函數在閉區間上的最值

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得，當x∈[-1，1]時，函數F（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，函數F（x）的對稱軸為x=

k

2

-1，分對稱軸在區間[-1，1]的左側、中間、右側三種情況，分別利用單調性氣的函數的最小值．

解答： 解：由題意可得，當x∈[-1，1]時，函數F（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函數F（x）的對稱軸為x=

k

2

-1．
當

k

2

-1＜-1時，函數F（x）在[-1，1]上是增函數，故它的最小值g（k）=g（-1）=0．
當-1≤

k

2

-1≤1時，函數F（x）在[-1，1]上沒有單調性，故它的最小值g（k）=g（

k

2

-1）=k-

k2

4

．
當

k

2

-1＞1時，函數F（x）在[-1，1]上是減函數，故它的最小值g（k）=g（1）=4-k．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．