Question

如圖，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E為PD的中點
（Ⅰ）求證：AE∥面PBC．
（Ⅱ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在面PAB內能否找一點N，使NE⊥面PAC．若存在，找出并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）取PC中點為F，連接EF，BF
又E為PD的中點，所以EF∥DC且EF=

1

2

DC
所以EF∥AB，且EF=AB，所以ABFE為平行四邊形（2分）
所以AE∥BF，因為AE?面PBC，所以AE∥面PBC（4分）
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A、B、C、D、P、E的坐標分別為A（0，0，0），
B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，3），E（0，

1

2

，

3

2

）（5分）
從而

AC

=（2，1，0），

PB

=（1，0，-3）
設

AC

與

PB

的夾角為θ，則
cosθ=

AC • PB

| AC |•| PB |

=-

2

5

，（7分）
∴AC與PB所成角的余弦值為

2

5

（8分）
（Ⅲ）在面ABCD內過D作AC的垂線交AB于G，連PG，
設N為PG的中點，連NE，則NE∥DG，（10分）
∵DG⊥AC，DG⊥PA，∴DG⊥面PAC從而NE⊥面PAC（14分）