Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，E是DD₁的中點．
（1）求證：AC⊥B₁D；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求

AA1

AB

的值．

Answer 1

（1）證明：連接BD
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD
又∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∴B₁B⊥面ABCD
∴B₁B⊥AC又因為BD∩B₁B=B
所以AC⊥面B₁BD
又∵B₁D?面B₁BD
∴AC⊥B₁D
（2）連接DC₁，DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影
∵B₁D⊥平面ACE且CE?平面ACE
∴B₁D⊥CE
∵DC₁是B₁D在平面CC₁D₁D上的射影
∴CE⊥DC
在平面CC₁D₁D中如圖所示∠C₁DC=∠CED，

∴△C₁DC∽△CED
∴

CD

C1C

=

ED

CD

即

CD

C1C

=

1 2 C1C

CD

∴2CD²=CC₁²
∴

C1C

CD

=

2

即

AA1

AB

=

2

故

AA1

AB

的值為

2

．．