Question

如圖所示，已知點P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對角線
BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP與CC′所成角的大小;
(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.

Answer 1

(1) DP與CC′所成的角為45°(2) DP與平面AA′D′D所成的角為30°

  如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標系D—xyz.

則=（1，0，0），=(0,0,1).
連接BD,B′D′.
在平面BB′D′D中,
延長DP交B′D′于H.
設="(m,m,1)" (m＞0),由已知〈,〉=60°,
由·=||||cos〈, 〉,
可得2m=.
解得m=,所以=（,,1）.
(1)因為cos〈,〉==,
所以〈,〉=45°,
即DP與CC′所成的角為45°.
(2)平面AA′D′D的一個法向量是=(0,1,0).
因為cos〈,〉==,
所以〈,〉=60°,
可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.