Question

直線l：3x+4y-12=0與x軸和y軸分別交于A，B兩點，直線l₁和AB，OA分別交于點C，D，且平分△AOB的面積．
（1）求cos∠BAO的值；
（2）求線段CD長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據直線l的方程得到A，B的坐標，進而可得到|0A|、|OB|的長度，進而根據勾股定理求出|AB|的距離，即可得到cos∠BAO的值．
（2）先設|AC|=m，|AD|=n，根據cos∠BAO的值可求其正弦值，再由三角形的面積得到mn的值，再表示出|CD|的表達式結合基本不等式的內容可求得線段CD長度的最小值．

解答：解：（1）∵l：3x+4y-12=0，令x=0，可得y=3；令y=0，可得x=4；
即|OA|=4，|OB|=3∴AB=

32+42

=5，∴cos∠BAO=

AO

AB

=

4

5

（2）設|AC|=m，|AD|=n
由cos∠BAO=

4

5

，得sin∠BAO=

3

5

，
而S△AOB=

1

2

×3×4=6
∴S△ACD=

1

2

mnsin∠BAO=

1

2

mn×

3

5

=

1

2

S△AOB=

1

2

×6=3∴mn=10
又|CD|=

m2+n2-2mncos∠CAD

=

m2+n2-2mn× 4 5

=

m2+n2-16

≥

2mn-16

=

2×10-16

=2（當且僅當m=n時等號成立）
∴線段CD長度的最小值為2

點評：本題主要考查三角函數中余弦值的求法和余弦定理的應用、基本不等式的應用．考查基礎知識的綜合應用和靈活應用．三角函數題以基礎為主，要強化其基礎題得復習．