Question

已知數列{a_n}滿足：，．
⑴求數列{a_n}的通項公式；      ⑵證明：
⑶設，且，證明：．

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

：⑴由，得令，有
∴ ＝＝
又b₁＝2a₁＝2，                                                                                                           
∴∴                                                                           
⑵證法1：(數學歸納法)
1°，當n＝1時，a₁＝1，滿足不等式                                                                       
2°，假設n＝k(k≥1，k∈N*)時結論成立
即，那么
即     又
由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                                               
⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)
∵，，∴
∵ ∵
∴ ∴當n＝1時，，綜上
⑵證法3：  
∴{a_n}為遞減數列  當n＝1時，a_n取最大值　　∴a_n≤1
由⑴中知　　  
綜上可知
⑶欲證：即證                               
即ln(1＋T_n)－T_n＜0，構造函數f (x)＝ln(1＋x)－x
∵當x＞0時，f ' (x)＜0
∴函數y＝f (x)在(0，＋∞)內遞減∴f (x)在[0，＋∞)內的最大值為f (0)＝0
∴當x≥0時，ln(1＋x)－x≤0又∵T_n＞0，∴ln(1＋T_n)－T_n＜0∴不等式成立