Question

右圖為一組合體，其底面為正方形，平面，，且

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四棱錐的體積；
（Ⅲ）求該組合體的表面積．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）2；（3）.

試題分析：本題主要考查線線垂直、平行的判定、線面垂直的判定、幾何體的體積和表面積的計算，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力.第一問，利用線面平行的判定得出平面，平面，所以可得到平面平面，所以利用面面平行的性質得證結論；第二問，利用線面垂直得到線線垂直，又因為，所以得到線面垂直，所以是所求錐體的高，利用梯形面積公式求底面的面積，再利用體積公式求體積；第三問，利用已知的邊的關系和長度，可以求出組合體中每一條邊的長度，從而求出每一個面的面積，最后求和加在一起即可.
試題解析：（Ⅰ）∵，平面，平面，
∴平面，
同理可證：平面，
∵平面，平面，且，
∴平面平面，
又∵平面，∴平面，
（Ⅱ）∵平面，平面，
∴，
∵，
∴平面，
∵，
∴四棱錐的體積，
（Ⅲ）∵，，
∴，
又∵，，，，，
∴組合體的表面積為.