Question

在△ABC中，6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5

3

，則cosC=（　　）

• A、

  1

  2

• B、±

  3

  2

• C、

  3

  2

• D、-

  3

  2

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：三角函數的求值

分析：對已知兩個方程平方相加，利用兩角和與差的三角函數化簡，結合同角三角函數的基本關系式即可求出結果．

解答： 解：6sinA+4cosB=1，且4sinB+6cosA=5

3

，
∴（6sinA+4cosB）²=1，…①，
（4sinB+6cosA）²=75，…②，
①+②可得：16+36+48（sinAcosB+cosAsinB）=76
∴sin（A+B）=

1

2

，
∴sinC=

1

2

．
∴cosC=±

3

2

，又∠C∈（0，π），
∴∠C的大小為

π

3

或

2π

3

，
若∠C=

2π

3

，得到A+B=

π

3

，則cosB＞

1

2

，所以4cosB＞2＞1，sinA＞0，
∴6sinA+4cosB＞2與6sinA+4cosB=1矛盾，所以∠C≠

2π

3

，
∴滿足題意的∠C的值為

π

3

．
則cosC=

3

2

．
故選：C．

點評：此題考查同角三角函數間基本關系的運用，注意角的范圍的討論，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．