Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸的兩個端點分別為、.短軸的兩個端點分別為，.菱形的面積為，離心率.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設，經過點M作斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由已知條件得出關于方程組求解即可；

（2）方法一：先由已知得出中垂線過點，設出直線的方程，點坐標，聯立直線方程和橢圓方程，消去得關于的一元二次方程，利用韋達定理得出點坐標關系，最后利用中點在中垂線上得到關系式求解即可.方法二：先設出直線的方程，點坐標，由已知向量關系式化簡為坐標關系，利用點差法得出點坐標關系，然后把直線方程與橢圓方程聯立得關于的一元二次方程，利用韋達定理即可得到等量關系，求解即可.

解：（1）∵，∴.

又因為菱形的面積為，即有，即，

所以，從而，

所以橢圓C的標準方程為.

（2）由，知，設，由向量加法的意義，知是線段的中垂線，設直線的方程為，經過N且與垂直的直線為.

設，由消去，得，

于是有.

關于A，B關于直線對稱，故點必在此直線上，

所以，即，所以或，

故所求的直線的方程為或，即或.

解法二：設，因為，所以

.

由題得，即

.①

因為A、B在橢圓C上，所以，所以.兩式相減，得，② 因為的斜率不為0，所以，將②代①，得.③

因直線經過，設直線的方程為，

由消去，得，

于是有，代入③得，解得，或.

故所求直線的方程為或，即.或.