【題目】如圖，直三棱柱
中，底面
為等腰直角三角形，
，
，
是側棱
上的點．
（1）若
，證明：是的中點；
（2）若
，求二面角
的余弦值．
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【題目】在平面直角坐標系
中，由
經過伸縮變換
得到曲線
，以原點為極點，
軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程；
（2）若直線
的極坐標方程為
，與曲線、曲線在第一象限交于
、
，且
，點
的極坐標為
，求
的面積．
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【題目】焦點在x軸上的橢圓C：
經過點
，橢圓C的離心率為
．
，
是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點M為
的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數
，使得
；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．
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【題目】已知橢圓
的離心率為
，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M為橢圓上第一象限內一動點，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線MB與x軸交于點C，直線MA與y軸交于點D，求證：四邊形ABCD的面積為定值．
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【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調查結果如下：
0項 | 1項 | 2項 | 3項 | 4項 | 5項 | 5項以上 | |
理科生（人） | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生（人） | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
（1）完成如下
列聯表，并判斷是否有
的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？
比較了解 | 不太了解 | 合計 | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合計 |
（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
（i）求抽取的文科生和理科生的人數；
（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用
表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望.
參考數據：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，
.
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【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸的兩個端點分別為
、
.短軸的兩個端點分別為
，
.菱形
的面積為
，離心率
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
，經過點M作斜率不為0的直線
交橢圓C于A、B兩點，若
，求直線的方程.
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【題目】如圖所示，多面體是由底面為
的直四棱柱被截面
所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中
，
，
，
．
(1)求
的長；
(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值．
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【題目】已知橢圓C：
+
=1（a＞b＞0）的離心率為
，直線l：x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T．
（I）求橢圓C的方程和點T的坐標；
（Ⅱ）O為坐標原點，與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點A，B，直線l′與直線l交于點P，試判斷
是否為定值，若是請求出定值，若不是請說明理由．
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