Question

已知橢圓(a>b>0)拋物線，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

		4		1
	2	4		2

（1）求的標準方程；（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,

(i) 求的最值.
(ii) 求四邊形ABCD的面積；

Answer 1

(2)當k=0(此時滿足①式),即直線AB平行于x軸時，的最小值為-2.
又直線AB的斜率不存在時，所以的最大值為2.
(ii).

解析試題分析：
利用待定系數法，將點（0，2），（，）代入橢圓方程，將（4，4），（1，2）代入拋物線方程，可得 
(2)設直線AB的方程為，設
聯立，得 
  ①
                  
   

=      
   
 

當k=0(此時滿足①式),即直線AB平行于x軸時，的最小值為-2.
又直線AB的斜率不存在時，所以的最大值為2.  11分
(ii)設原點到直線AB的距離為d，則

.   13分
考點：待定系數法，平面向量的坐標運算，橢圓、拋物線的標準方程，直線與橢圓的位置關系。
點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、拋物線的標準方程，主要運用了待定系數法。作為研究圖形的面積，涉及弦長公式的應用，利用韋達定理，簡化了計算過程。