Question

【題目】某水域受到污染，水務部門決定往水中投放一種藥劑來凈化水質，已知每次投放質量為的藥劑后，經過（）天，該藥劑在水中釋放的濃度（毫克升）為，其中，當藥劑在水中釋放濃度不低于（毫克升）時稱為有效凈化，當藥劑在水中釋放的濃度不低于（毫克升）且不高于（毫克升）時稱為最佳凈化.

（1）如果投放的藥劑質量為，那么該水域達到有效凈化一共可持續幾天？

（2）如果投放的藥劑質量為，為了使該水域天（從投放藥劑算起，包括第天）之內都達到最佳凈化，確定應該投放的藥劑質量的值.

Answer 1

【答案】（1）天；（2）.

【解析】

（1）由，且，可得出藥劑在水中釋放濃度的函數，因為函數為分段函數，分和解不等式，即可得出水域達到有效凈化所持續的天數；

（2）求出關于的解析式，分區間討論該函數的單調性，根據題意，只需函數在區間和上的值域均為的子集，由此列出不等式（組）解出實數的值.

（1），.

當時，恒成立；當時，令，解得.

所以，不等式的解為，因此，該水域達到有效凈化一共可持續天；

（2）由題意知，，且.

當時，為增函數，且，由題意可得，

則有，解得；

當時，為減函數，且，由題意可得，

則，解得.

綜上所述，.