Question

【題目】已知橢圓E的中心在坐標原點O，兩個焦點分別為A（﹣1，0），B（1，0），一個頂點為H（2，0）．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）對于x軸上的點P（t，0），橢圓E上存在點M，使得MP⊥MH，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣2，﹣1）．

【解析】

試題（1）由兩個焦點分別為A（﹣1，0），B（1，0），上頂點為D（2，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，

最后由橢圓的焦點在X軸上求得方程．

（2）利用向量垂直即可求得M點的橫坐標x0，從而解決問題．

解：（1）由題意得，c=1，a=2，則b=

故所求的橢圓標準方程為；

（2）設M（x0，y0）（x0≠±2），則①

又由P（t，0），H（2，0）．則，

由MP⊥MH可得，即（t﹣x0，﹣y0）（2﹣x0，﹣y0）=

由①②消去y0，整理得②

∵x0≠2，∴

∵﹣2＜x0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1

故實數t的取值范圍為（﹣2，﹣1）．