【題目】如圖，已知四邊形ABCD由Rt△ABC和Rt△BCD拼接而成，其中∠BAC＝∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，AB＝AC，
，將△ABC沿著BC折起，
（1）若
，求異面直線AB和CD所成角的余弦值；
（2）當(dāng)四面體ABCD的體積最大時，求二面角A﹣BC﹣D的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根據(jù)異面直角所成角的空間向量計算公式，再利用題給信息構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，即可求出所求角；
（2）當(dāng)平面ABC⊥平面BCD時，四面體ABCD體積有最大值，即可得答案.
（1）因為∠BAC＝90°，且AB＝AC，BC
，
∴
，∴AB＝AC＝AD，
∴作AO⊥平面BCD，垂足O必為△BCD的外心，
又因為△BCD中，∠BCD＝90°，△BCD的外心在斜邊中點處，即O點為BD中點，
則以OA方向建立z軸，過O點作x軸平行于BC，作y軸平行于CD，如圖所示
得坐標(biāo)，
，
，
∴
∴
（0，﹣2，0），
，
設(shè)AB與CD所成角為
，
則
；
（2）當(dāng)平面ABC⊥平面BCD時，四面體ABCD體積有最大值，此時二面角A﹣BC﹣D為90°，其余弦值為0.
寒假學(xué)與練系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知動點P到兩定點M（﹣3，0），N（3，0）的距離滿足|PM|＝2|PN|.
（1）求證：點P的軌跡為圓；
（2）記（1）中軌跡為⊙C，過定點（0，1）的直線l與⊙C交于A，B兩點，求△ABC面積的最大值，并求此時直線l的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲船在島A的正南B處，以
的速度向正北航行，
，同時乙船自島A出發(fā)以
的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，兩個焦點分別為A（﹣1，0），B（1，0），一個頂點為H（2，0）．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）對于x軸上的點P（t，0），橢圓E上存在點M，使得MP⊥MH，求實數(shù)t的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M為PD的中點.
（1）證明：MO∥平面PAB；
（2）求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2％的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別是（ ）
A.100，10B.100，20C.200，10D.200，20
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】用系統(tǒng)抽樣法從140名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將140名學(xué)生從1～140編號．按編號順序平均分成20組（1～7號，8～14號，…，134～140號），若第17組抽出的號碼為117，則第一組中按此抽樣方法確定的號碼是（ ）
A.7B.5C.4D.3
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足
=2kan對任意正整數(shù)n(n> k) 總成立，則稱數(shù)列{an} 是“P(k)數(shù)列”.
(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；
若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.
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