Question

（2013•靜安區一模）某倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施．該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點．△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿．
（1）設MN與AB之間的距離為x米，試將△EMN的面積S（平方米）表示成關于x的函數；
（2）求△EMN的面積S（平方米）的最大值．

Answer 1

分析：（1）分類求出MN在矩形區域、三角形區域滑動時，△EMN的面積，可得分段函數；
（2）分類求出△EMN的面積的最值，比較其大小，即可得到最值．

解答：解：（1）①如圖1所示，當MN在矩形區域滑動，即0＜x≤1時，△EMN的面積S=

1

2

×2×x=x；（1分）
②如圖2所示，當MN在三角形區域滑動，即1＜x＜1+

3

時，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，
∵E為AB中點，
∴F為CD中點，GF⊥CD，且FG=

3

．
又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．
∴

MN

DC

=

GH

GF

，即MN=

2[ 3 +1-x]

3

．（4分）
故△EMN的面積S=

1

2

×

2[ 3 +1-x]

3

×x=-

3

3

x2+(1+

3

3

)x； （6分）
綜合可得：S=

x，   (0＜x≤1) - 3 3 x2+(1+ 3 3 )x．   (1＜x＜1+ 3 )

（7分）
（2）①當MN在矩形區域滑動時，S=x，所以有0＜S≤1；（8分）
②當MN在三角形區域滑動時，S=-

3

3

x2+(1+

3

3

)x．
因而，當x=

1+ 3

2

（米）時，S得到最大值，最大值S=

1

2

+

3

3

（平方米）．
∵

1

2

+

3

3

＞1，
∴S有最大值，最大值為

1

2

+

3

3

平方米．（12分）

點評：本題考查函數模型的建立，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，確定分段函數是關鍵．