Question

【題目】已知函數，a∈R.

（1）若函數f（x）在x＝1處的切線為y＝2x+b，求a，b的值；

（2）記g（x）＝f（x）+ax，若函數g（x）在區間（0，）上有最小值，求實數a的取值范圍；

（3）當a＝0時，關于x的方程f（x）＝bx2有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2（2）a∈（0，）（3）b∈（0，）

【解析】

（1）求導得到f′（x），根據切線方程公式計算得到答案.

（2）g′（x），討論a≤0和a＞0兩種情況，根據函數的單調性求最值得到答案.

（3）方程等價于bx2﹣lnx﹣1＝0有兩個不等的實數根，設h（x）＝bx2﹣lnx﹣1，則h′（x）＝2bx，討論b≤0和b＞0兩種情況，計算h（x）的最小值為h（），計算得到答案.

（1）∵，∴f′（x），

由題意可得，f′（1）＝1﹣a＝2，解得a＝﹣1，∴f（1）＝a+1＝0，

∴直線y＝2x+b過點（1，0），可得b＝﹣2；

（2）g（x）＝lnx，則g′（x）

若a≤0，則g′（x）0在（0，）上恒成立，

f（x）單調遞增，∴a≤0不符合題意，

若a＞0，設G（x）＝ax2+x﹣a，則G（x）在（0，）上單調遞增，

由題意，則應有G（0）＝﹣a＜0，G（）0，解得a，

則存在x0∈（0，），使得G（x0）＝0，

且當x∈（0，x0）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，

當x∈（）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，

∴g（x）在（0，）上的最小值為g（x0），

∴a∈（0，）；

（3）由題意可知，方程lnx+1＝bx2，即bx2﹣lnx﹣1＝0有兩個不等的實數根，

設h（x）＝bx2﹣lnx﹣1，則h′（x）＝2bx.

當b≤0時，h′（x）＜0恒成立，h（x）單調遞減，不可能有兩個零點，

當b＞0時，令h′（x）＝0，解得x.

且當x∈（0，）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，

當x∈（，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，

∴h（x）的最小值為h（）.

由題意，應用h（）0，解得0＜b.

又∵h（）0，且，∴存在x1∈（），使得h（x1）＝0.

∵h（），設H（b），則H′（b），

且當x∈（0，1）時，H′（b）＜0，H（b）單調遞減，

當x∈（1，）時，H′（b）＞0，H（b）單調遞增，

∴H（b）≥H（1）＝0，即h（）≥0，

∵，∴存在x2∈（，]，使得h（x2）＝0.

綜上，b∈（0，）.