Question

設函數f（x）=

2x，x≤0 log2x，x＞0

，若對任意給定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=2a²t²+at，則正實數a的最小值是（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：此題的突破口在于如何才會存在唯一的x滿足條件，結合f（x）的值域范圍或者圖象，易知只有在f（x）的自變量與因變量存在一一對應的關系時，即只有當f（x）＞2時，才會存在一一對應．

解答： 解：根據f（x）的函數，我們易得出其值域為：R，
又∵f（x）=2^x，（x≤0）時，值域為（0，1]；
f（x）=log₂x，（x＞0）時，其值域為R，
∴可以看出f（x）的值域為（0，1]上有兩個解，
要想f（f（x））=2a²t²+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R滿足，
必有f（f（x））＞1 （因為2a²t²+at＞0），
所以：f（x）＞2，
解得：x＞4，
當 x＞4時，x與f（f（x））存在一一對應的關系，
∴2a²t²+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，
所以有：（2at-1）（at+1）＞0，
解得：t＞

1

2a

或者t＜-

1

a

（舍去），
∴

1

2a

≤1，
∴a≥

1

2

，
故選：B

點評：本題主要考查了分段函數的應用，本題關鍵是可以把2a²t²+at當作是一個數，然后在確定數的大小后再把它作為一個關于t的函數．