Question

【題目】已知函數f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（1）若對于區間（0，+∞）內的任意x，總有f（x）≥0成立，求實數k的取值范圍；
（2）若函數f（x）在區間（0，2）內有兩個不同的零點x1 ， x2 ， 求：
①實數k的取值范圍；
② 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）≥0|x2﹣1|+x2+kx≥0k≥﹣ ，x∈（0，+∞），

記g（x）=﹣ = ，易知g（x）在（0，1]上遞增，在（1，+∞）上遞減，

∴g（x）max=g（1）=﹣1，

∴k≥﹣1；

（2）解：①（ⅰ）0＜x≤1時，方程f（x）=0化為kx+1=0，k=0時，無解；k≠0時，x=﹣ ；

（ⅱ）1＜x＜2時，方程f（x）=0化為2x2+kx﹣1=0，x= ，而其中 ＜ ≤0，

故f（x）=0在區間（1，2）內至多有一解x= ；

綜合（ⅰ）（ⅱ）可知，k≠0，且0＜x≤1時，方程f（x）=0有一解x=﹣ ，故k≤﹣1；

1＜x＜2時，方程f（x）=0也僅有一解x= ，令1＜ ＜2，得﹣ ＜k＜﹣1，

∴實數k的取值范圍是﹣ ＜k＜﹣1；

②方程f（x）=0的兩解分別為x1=﹣ ，x2= ，

=﹣k+ =﹣k+ = =2x2∈（2，4）．

【解析】（1）由f（x）≥0分離出參數k，得k≥﹣ ，x∈（0，+∞），記g（x）=﹣ ，則問題等價于k≥g（x）max ， 由單調性可得g（x）max；（2）①（i）當0＜x≤1時，方程f（x）=0為一次型方程，易判斷k≠0時有一解；當1＜x＜2時，方程f（x）=0為二次方程，可求得兩解，易判斷其一不適合，令另一解大于1小于2，可得k的范圍，綜合可得結論；（ii）由①易知兩零點x1 ， x2 ， 從而可表示出 ，化簡可得為2x2 ， 結合（ii）可得結論；