Question

設x₁，x₂是函數的兩個極值點，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）證明：0＜a≤1；
（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）對函數求導可得，f′（x）=ax²+bx-a²，由題意可得x₁，x₂是方程的兩根，根據方程的根與系數的關系可得x₁+x₂，x₁•x₂，而，代入可求
（II）由（I）可得b²=4a²-4a³，構造函數g（a）=4a²-4a³，利用導數知識求函數g（a）的單調區間及最值，而b²≤g（a）_max，即可．
解答：解：（Ⅰ）對f（x）求導可得f'（x）=ax²+bx-a²（a＞0）．（2分）
因為x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，所以x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個實根．
于是，
故，
即b²=4a²-4a³．（4分）
由b²≥0得4a²-4a³≥0，解得a≤1．a＞0，
所以0＜a≤1得證．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²-4a³，設g（a）=4a²-4a³，
則g'（a）=8a-12a²=4a（2-3a）．（8分）
由g'（a）＞0；g'（a）＜0．（10分）
故g（a）在時取得最大值，
即，
所以．（13分）
點評：本題是函數的導數的簡單運用，熟練運用導數的知識解決問題，要求考生熟練掌握基本知識，靈活轉化問題，還要具備一定的邏輯推理的能力．